Colorful Tree

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Sample Input

31 2 11 22 361 2 1 3 2 11 21 32 42 53 6

 

Sample Output

Case #1: 6Case #2: 29

 

Source

题目链接：

题意： 

一棵n个结点的树，每个结点都有颜色，定义两点之间的路径长度为路径上出现的不同颜色数目，求树上所有路径的长度和。

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思路：

“真的难”系列。

官方题解：

首先这题肯定是算贡献，也就是计算出每种颜色参与了多少条路径，但这样正面考虑并不容易，不妨从反面考虑，计算每种颜色没有参与多少路径，然后拿 (路径总数 * 颜色总数) - 没参与的贡献，就是答案了。

对于一种颜色x，怎么计算没参与的路径数目呢，很显然，对于每个不包含颜色x的连通块中任意两点路径都是x不参与的贡献，那么问题就转化为，对于任意一种颜色x，需要求出每个不包含x的连通块大小。

这里利用了树形dp，对于结点u，若u的颜色为x，那么dfs(u)的过程中，我们就想知道对于u的每个儿子v构成的子树中最高的一批颜色也为x的结点是哪些，要是知道这些结点子树的大小，只要拿子树v的大小减去这些节点子树的大小，就可以得到包括v在内的没有颜色x的连通块大小。

举个例子，如图：

对于结点1，我们想求出与1相邻的且不是黑色的结点组成的连通块大小，此时就要dfs结点1的两个儿子2和3，若我们处理出来结点2中，最高的一批黑色结点（4，8）的所构成子树的大小分别为2和1，那么我们拿2为根子树的大小5，减去2，减去1，就得到了结点2不包含黑色结点的连通块大小是5-2-1=2，也就是图中的2和5组成的连通块。同理对3，可以求得连通块大小是2（{3，6}）。

计算出了子树u中连通块大小对答案的贡献之后，就要将当前最高一批的黑色结点更新为u，最高黑色节点构成的子树大小sum加上子树u中没有计算的那部分大小5（{1,2,3,5,6}）。

具体实现，看代码，sum[x]表示的遍历到当前位置，颜色为x的高度最高一批结点为根的子树大小总和。

下面给出AC代码：

 

1 #include 
      
        2 using namespace std; 3 const int MAXN = 2e5 + 10; 4 typedef long long LL; 5  6 LL color[MAXN], sz[MAXN], sum[MAXN], vis[MAXN]; 7 vector 
       
         tree[MAXN]; 8 LL ans; 9 10 LL dfs(int u, int pa) {11     sz[u] = 1;12     LL allson = 0;13     int cnt = tree[u].size();14     for (int i = 0; i < cnt; i++) {15         int v = tree[u][i];16         if (v == pa) continue;17         LL last = sum[color[u]];            // 保存递归之前的sum值18         sz[u] += dfs(v, u);19         LL add = sum[color[u]] - last;      // add就是结点v为根的子树中颜色为color[u]且高度最高的若干子树的大小20         // 对于结点v来说，sz[v]-add就是v这棵子树最上端的，且不包含颜色为color[u]的连通块大小21         ans += (sz[v] - add) * (sz[v] - add - 1) / 2;    // 对这个连通块中任意两个点的路径都不包含颜色color[u]22         allson += sz[v] - add;          // allson记录下儿子结点v组成的不含颜色color[u]的连通块大小总和23     }24     sum[color[u]] += allson + 1;        // sum更新，此时要加上不含color[u]连通块的大小总和以及u自己25     return sz[u];26 }27 28 int main() {29     //freopen("in.txt", "r", stdin);30     int n, cs = 0;31     while (scanf("%d", &n) !=EOF) {32         memset(vis, 0, sizeof(vis));33         memset(sum, 0, sizeof(sum));34         int cnt = 0;35         for (int i = 1; i <= n; i++) {36             scanf("%I64d", &color[i]);37             if (!vis[color[i]]) ++cnt;38             vis[color[i]] = 1;39             tree[i].clear();40         }41         for (int i = 1; i < n; i++) {42             int u, v;43             scanf("%d%d", &u, &v);44             tree[u].push_back(v);45             tree[v].push_back(u);46         }47         printf("Case #%d: ", ++cs);48         if (cnt == 1) {             // 只有一种颜色的特殊情况49             printf("%I64d\n", (LL)n * (n - 1LL) / 2LL);50             continue;51         }52         ans = 0;53         dfs(1, -1);54         for (int i = 1; i <= n; i++) {      // 注意最后要对整棵树来补充所有颜色剩下的联通块55             if (!vis[i]) continue;56             ans += (n - sum[i]) * (n - sum[i] - 1LL) / 2LL;57         }58         printf("%I64d\n", (LL)n * (n - 1LL) / 2LL * cnt - ans);59     }60     return 0;61 }